Escreva em coordenadas polares a integral dupla da função
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo integral dupla que pede para reescrever a integral da função
em coordenadas polares. Vamos precisar lembrar como transformar funções e áreas de integração do sistema cartesiano para o polar. Basicamente, vamos usar as relações entre
e
para fazer essa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para polares:
E também, a área diferencial em coordenadas polares é dada por:
Isso significa que quando mudamos para coordenadas polares, precisamos multiplicar a função pelo fator
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na função
pelas expressões em termos de
e
:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral dupla em coordenadas polares. Supondo que a região de integração seja
no plano
, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui,
representa a região de integração em coordenadas polares.
Resposta
A integral dupla em coordenadas polares fica: