Escreva em coordenadas polares a integral dupla da função
f(x, y) = x^2 / raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo integral dupla que pede para reescrever a integral da função em coordenadas polares. Vamos precisar lembrar como transformar funções e áreas de integração do sistema cartesiano para o polar. Basicamente, vamos usar as relações entre e para fazer essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para polares:
E também, a área diferencial em coordenadas polares é dada por:
Isso significa que quando mudamos para coordenadas polares, precisamos multiplicar a função pelo fator .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na função pelas expressões em termos de e :
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral dupla em coordenadas polares. Supondo que a região de integração seja no plano , a integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui, representa a região de integração em coordenadas polares.

Resposta

A integral dupla em coordenadas polares fica:

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