Encontre a solução
das equaçōes integrais:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação integral
. Aqui, estamos lidando com equações integrais, que envolvem integrar uma função desconhecida. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a diferenciação de integrais dependendo de um parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso transforma a equação integral em uma equação diferencial, que é mais fácil de resolver. Então, derivando:
Passo 3
Para derivar a integral, usamos a regra de Leibniz, que nos diz que:
No nosso caso,
e
, então:
Como
, a primeira parte desaparece, ficando:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados para eliminar a integral. Então, diferenciando
:
Aplicando a regra de Leibniz de novo:
Como
, temos:
Passo 5
Lembrando da equação original
, podemos substituir a integral:
Então, a equação diferencial resultante é:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, integramos
para encontrar
:
Precisamos encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
. Derivando a equação original em
:
Portanto,
, ficando:
Passo 7
Agora, integramos
para encontrar
:
Usando novamente
, temos
. Assim, a solução final é: