Encontre a solução y(t) das equaçōes integrais:
b) y(t)=t^3+integral0^t sen(t-u) y(u) d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação integral . Aqui, estamos lidando com equações integrais, que envolvem integrar uma função desconhecida. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a diferenciação de integrais dependendo de um parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a y'(t) = 3t^2 + ddt ( integral0^t sin(t - u) y(u) , du ) . Isso transforma a equação integral em uma equação diferencial, que é mais fácil de resolver. Então, derivando:

Passo 3

Para derivar a integral, usamos a regra de Leibniz, que nos diz que:
ddt integrala(t)^b(t) f(t, u) , du = f(t, b(t)) cdot b'(t) - f(t, a(t)) cdot a'(t) + integrala(t)^b(t) partial fpartial t , du
No nosso caso, ddt ( integral0^t sin(t - u) y(u) , du ) = sin(t - t) y(t) cdot 1 + integral0^t cos(t - u) y(u) , du e y'(t) = 3t^2 + integral0^t cos(t - u) y(u) , du , então:
Como , a primeira parte desaparece, ficando:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados para eliminar a integral. Então, diferenciando y''(t) = 6t + ddt ( integral0^t cos(t - u) y(u) , du ) :
ddt ( integral0^t cos(t - u) y(u) , du ) = cos(0) y(t) + integral0^t -sin(t - u) y(u) , du
Aplicando a regra de Leibniz de novo:
y''(t) = 6t + y(t) - integral0^t sin(t - u) y(u) , du
Como , temos:

Passo 5

Lembrando da equação original y''(t) = 6t + y(t) - (y(t) - t^3) = 6t + t^3 , podemos substituir a integral:
y''(t) = t^3 + 6t
Então, a equação diferencial resultante é:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, integramos y'(t) = integral (t^3 + 6t) , dt = 14 t^4 + 3t^2 + C para encontrar y'(0) = 0 + integral0^0 sin(0 - u) y(u) , du = 0 :
y'(t) = 14 t^4 + 3t^2
Precisamos encontrar a constante . Sabemos que quando , . Derivando a equação original em :
Portanto, , ficando:

Passo 7

Agora, integramos y(t) = integral ( 14 t^4 + 3t^2 ) dt = 120 t^5 + t^3 + D para encontrar :
Usando novamente , temos . Assim, a solução final é:

Resposta

y(t) = t^3 + 120 t^5

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