Se L{f(t)}=F(s) então f(t) = -1/t L^{-1}{F'(s)}. Use este resultado para determinar f(t) tal que: L{f(t)} = ln(1 + a^2/s^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a transformada de Laplace de uma função , que é . A parada é usar a relação para encontrar , sabendo que . Então, o conteúdo aqui envolve transformadas de Laplace e suas propriedades, especialmente como trabalhar com derivadas na transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de em relação a . Então, temos:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão de :
Podemos separar frações parciais para facilitar a inversão da transformada:
Multiplicando ambos os lados por :
Comparando os coeficientes:
Então,

Passo 4

Agora, usando a propriedade dada:
Sabemos que , então:

Resposta

A função é igual a .

Exercícios relacionados