Encontre a solução dos problemas dados abaixo:
(b)) y'' + y = g(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, onde g(t) = { t, 0 <= t < 1; 1, t >= 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema que temos é uma equação diferencial de segunda ordem que envolve uma função forçadora . A equação é:
com as condições iniciais e , onde é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de é:
E a Transformada de Laplace de é simplesmente .
Aplicando a transformada na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de . Como é uma função por partes, vamos expressá-la usando a função degrau unitário :
A Transformada de Laplace de e podem ser encontradas utilizando as propriedades das transformadas para funções com deslocamento no tempo.
Calculando:
Sabemos que:
Aplicando com :
Simplificando:

Passo 4

Voltando à nossa equação transformada:
Vamos isolar :
Podemos dividir isso em duas partes para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo separadamente.
  1. corresponde a .
  2. pode ser decomposto em frações parciais:
Então, sua inversa é:
  1. Para , aplicamos o deslocamento no tempo:

Passo 6

Juntando todas as partes, temos a solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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