Encontre a solução dos problemas dados abaixo:
(b))
, onde
(b))
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema que temos é uma equação diferencial de segunda ordem que envolve uma função forçadora
. A equação é:
com as condições iniciais
e
, onde
é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é:
E a Transformada de Laplace de
é simplesmente
.
Aplicando a transformada na equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de
. Como
é uma função por partes, vamos expressá-la usando a função degrau unitário
:
A Transformada de Laplace de
e
podem ser encontradas utilizando as propriedades das transformadas para funções com deslocamento no tempo.
Calculando:
Sabemos que:
Aplicando com
:
Simplificando:
Passo 4
Voltando à nossa equação transformada:
Vamos isolar
:
Podemos dividir isso em duas partes para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo separadamente.
-
corresponde a . -
pode ser decomposto em frações parciais:
Então, sua inversa é:
- Para
, aplicamos o deslocamento no tempo:
Passo 6
Juntando todas as partes, temos a solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: