Encontre a solução dos problemas dados abaixo:
© y'' + 4y = g(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, onde g(t) = { 0, 0 <= t < pi/2; -sen(t - pi/2), t >= pi/2 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . A função é definida de forma diferente dependendo do intervalo de :
Vamos resolver essa equação dividindo em duas partes, de acordo com os intervalos de .

Passo 2

Primeiro, resolvemos para o intervalo , onde . A equação fica homogênea:
A solução geral dessa equação homogênea é:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e :
  1. :
  1. :
    Primeiro, derivamos :
Aplicando :
Então, a solução para é:

Passo 3

Agora, resolvemos para o intervalo , onde . A equação fica:
Podemos simplificar o lado direito usando identidade trigonométrica:
Portanto, a equação se torna:
A solução geral dessa equação é a soma da solução homogênea e da solução particular.
Solução homogênea:
Solução particular:
Vamos supor uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Solução geral para :

Passo 4

Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições de continuidade em .
  1. Continuidade de :
  1. Continuidade de :
    Primeiro, derivamos a solução geral para :
Aplicando :
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A solução completa para a equação diferencial é dada por:

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61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mtr” transform=“translate(0,-700)”><g data-mml-node=“mtd”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mtd” transform=“translate(2416.8,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 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250)”></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
Encontre a solução y(t) das equaçōes integrais:
b)
<html><head></head><body><div>Encontre a solução dos problemas dados abaixo:<br>
d) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“32.791ex” height=“2.283ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -759 14493.8 1009”><title>y’’ + 4y = g(t), y(0) = 0, y’(0) = 3</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Encontre a solução dos problemas dados abaixo:<br>
e) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“48.604ex” height=“2.283ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -759 21482.8 1009”><title>y’’ + 2y’ + y = delta(t) + H_2pi(t), y(0) = 0, y’(0) = 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 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