Encontre a solução dos problemas dados abaixo:
© y'' + 4y = g(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, onde g(t) = { 0, 0 <= t < pi/2; -sen(t - pi/2), t >= pi/2 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . A função é definida de forma diferente dependendo do intervalo de :
Vamos resolver essa equação dividindo em duas partes, de acordo com os intervalos de .

Passo 2

Primeiro, resolvemos para o intervalo , onde . A equação fica homogênea:
A solução geral dessa equação homogênea é:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e :
  1. :
  1. :
    Primeiro, derivamos :
Aplicando :
Então, a solução para é:

Passo 3

Agora, resolvemos para o intervalo , onde . A equação fica:
Podemos simplificar o lado direito usando identidade trigonométrica:
Portanto, a equação se torna:
A solução geral dessa equação é a soma da solução homogênea e da solução particular.
Solução homogênea:
Solução particular:
Vamos supor uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Solução geral para :

Passo 4

Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições de continuidade em .
  1. Continuidade de :
  1. Continuidade de :
    Primeiro, derivamos a solução geral para :
Aplicando :
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A solução completa para a equação diferencial é dada por:

Exercícios relacionados