Encontre a solução dos problemas dados abaixo:
©
, onde
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. A função
é definida de forma diferente dependendo do intervalo de
:
Vamos resolver essa equação dividindo em duas partes, de acordo com os intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, resolvemos para o intervalo
, onde
. A equação fica homogênea:
A solução geral dessa equação homogênea é:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
:
-
:
-
:
Primeiro, derivamos:
Aplicando
:
Então, a solução para
é:
Passo 3
Agora, resolvemos para o intervalo
, onde
. A equação fica:
Podemos simplificar o lado direito usando identidade trigonométrica:
Portanto, a equação se torna:
A solução geral dessa equação é a soma da solução homogênea e da solução particular.
Solução homogênea:
Solução particular:
Vamos supor uma solução da forma . Derivando:
Vamos supor uma solução da forma
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Solução geral para
:
Passo 4
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições de continuidade em
.
- Continuidade de
:
- Continuidade de
:
Primeiro, derivamos a solução geral para:
Aplicando
:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A solução completa para a equação diferencial é dada por: