Encontre a solução explícita de cada PVI abaixo e indique o intervalo de definição da solução.
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equação diferencial onde precisa encontrar a solução explícita da equação
com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e o método de separação de variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação
é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. O objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que consiste em separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Vamos reescrever a equação assim:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as primitivas de cada lado:
Passo 5
Vamos calcular a integral do lado esquerdo. Vamos fazer uma substituição simples: deixe
, então
. A integral fica:
Resolvendo a integral:
Substituindo de volta
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão para isolar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, invertemos os expoentes para resolver para
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Para que isso seja verdadeiro, a expressão dentro do parêntese precisa ser 1 elevada a qualquer potência. Então:
Passo 8
Substituindo
na equação da solução:
Simplificando a expressão dentro do parêntese:
Passo 9
Finalmente, vamos determinar o intervalo de definição da solução. O termo
está definido quando
, ou seja:
Então, a solução é válida para todos os
menores que
.
Resposta
A solução explícita da PVI é
com intervalo de definição para
.