(3,0) Encontre a solução explícita de cada PVI abaixo e indique o intervalo de definição da solução.
(a) d/y = (y-1)^{10}, y(0)=2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equação diferencial onde precisa encontrar a solução explícita da equação com a condição inicial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e o método de separação de variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. O objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 3

Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que consiste em separar os termos que envolvem dos que envolvem . Vamos reescrever a equação assim:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as primitivas de cada lado:

Passo 5

Vamos calcular a integral do lado esquerdo. Vamos fazer uma substituição simples: deixe , então . A integral fica:
Resolvendo a integral:
Substituindo de volta :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, invertemos os expoentes para resolver para :
Então:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Simplificando:
Para que isso seja verdadeiro, a expressão dentro do parêntese precisa ser 1 elevada a qualquer potência. Então:

Passo 8

Substituindo na equação da solução:
Simplificando a expressão dentro do parêntese:

Passo 9

Finalmente, vamos determinar o intervalo de definição da solução. O termo está definido quando , ou seja:
Então, a solução é válida para todos os menores que .

Resposta

A solução explícita da PVI é
com intervalo de definição para .

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