(3,0) Encontre a solução explícita de cada PVI abaixo e indique o intervalo de definição da solução.
(b) y' = -2y + x + 5, y(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você trouxe: com a condição inicial . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função usada para facilitar a resolução da equação. O fator integrante é dado por:
Isso porque é a função que multiplica na equação.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto .

Passo 5

Reescrevemos o lado esquerdo como uma derivada:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente .

Passo 6

Para resolver a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes. Vamos calcular:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, colocamos tudo junto:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução particular fica:

Resposta

A solução explícita da PVI é:
O intervalo de definição dessa solução é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

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