Encontre a solução explícita de cada PVI abaixo e indique o intervalo de definição da solução.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você trouxe:
com a condição inicial
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função usada para facilitar a resolução da equação. O fator integrante
é dado por:
Isso porque
é a função que multiplica
na equação.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Reescrevemos o lado esquerdo como uma derivada:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
.
Passo 6
Para resolver a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes. Vamos calcular:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, colocamos tudo junto:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução particular fica:
Resposta
A solução explícita da PVI é:
O intervalo de definição dessa solução é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.