Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de theta em coordenadas cartesianas.
r = ln(theta), theta ≥ 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico de uma curva polar dada por com . Vamos usar coordenadas cartesianas para isso. Para resolver, vamos precisar entender como converter coordenadas polares para cartesianas e como a função logarítmica se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer a conversão de coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
Isso significa que, para cada valor de , a gente consegue encontrar os valores de e correspondentes.

Passo 3

Agora, substituímos pela função dada, que é . Assim, as equações ficam:
Isso nos dá e em função de .

Passo 4

Vamos analisar como essas funções se comportam conforme varia a partir de 1. Sabemos que cresce lentamente conforme aumenta. O termo e fazem a curva oscilar ao redor do eixo, criando um padrão em espiral.

Passo 5

Com essas informações, podemos esboçar a curva no plano cartesiano. Começamos com , calculamos e , depois aumentamos e repetimos o processo, observando como a curva se desenvolve em espiral à medida que cresce.

Resposta

O esboço da curva para resulta em uma espiral que se afasta lentamente do ponto central à medida que aumenta. A curva começa em com e se expande gradualmente, girando ao redor da origem conforme cresce.

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