Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico de uma curva polar dada por
com
. Vamos usar coordenadas cartesianas para isso. Para resolver, vamos precisar entender como converter coordenadas polares para cartesianas e como a função logarítmica se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazer a conversão de coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
Isso significa que, para cada valor de
, a gente consegue encontrar os valores de
e
correspondentes.
Passo 3
Agora, substituímos
pela função dada, que é
. Assim, as equações ficam:
Isso nos dá
e
em função de
.
Passo 4
Vamos analisar como essas funções se comportam conforme
varia a partir de 1. Sabemos que
cresce lentamente conforme
aumenta. O termo
e
fazem a curva oscilar ao redor do eixo, criando um padrão em espiral.
Passo 5
Com essas informações, podemos esboçar a curva no plano cartesiano. Começamos com
, calculamos
e
, depois aumentamos
e repetimos o processo, observando como a curva se desenvolve em espiral à medida que
cresce.
Resposta
O esboço da curva
para
resulta em uma espiral que se afasta lentamente do ponto central à medida que
aumenta. A curva começa em
com
e se expande gradualmente, girando ao redor da origem conforme
cresce.