Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria envolvida aqui são as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Precisamos encontrar tanto a solução da equação homogênea quanto uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, a gente monta a equação característica, que é uma maneira de transformar a EDO em uma equação algébrica.

Passo 3

A equação característica para fica assim:
Resolvendo essa equação para :
Então, as soluções são reais e distintas.

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Usamos o método dos coeficientes indeterminados, que funciona bem quando o lado direito é uma função tipo exponencial, seno ou cosseno. Como temos um cosseno, tentamos uma solução da forma:
Aqui, A e B são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos derivar para substituir na equação original:
Substituindo e na equação :
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes das funções cosseno e seno:
Então, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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