Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. A matéria envolvida aqui são as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Precisamos encontrar tanto a solução da equação homogênea quanto uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, a gente monta a equação característica, que é uma maneira de transformar a EDO em uma equação algébrica.
Passo 3
A equação característica para
fica assim:
Resolvendo essa equação para
:
Então, as soluções são reais e distintas.
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Usamos o método dos coeficientes indeterminados, que funciona bem quando o lado direito é uma função tipo exponencial, seno ou cosseno. Como temos um cosseno, tentamos uma solução da forma:
Aqui, A e B são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos derivar
para substituir na equação original:
Substituindo
e
na equação
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes das funções cosseno e seno:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determine a ordem de cada equação diferencial em questão e diga se a mesma é ou não uma equação linear.
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