Encontre todos os valores de k para os quais a equação diferencial y''(t) + k y'(t) + k y(t) = 0 tenha uma solução geral da forma dada:
(b) y(t) = c1 e^(a t) + c2 t e^(a t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de para os quais a equação diferencial tem uma solução geral da forma . Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da equação diferencial que temos: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente sabe que para resolver esse tipo de equação, geralmente encontramos as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica para é dada por:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes .

Passo 4

A gente pode usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
O discriminante aqui é . Dependendo do valor de , teremos diferentes tipos de soluções.

Passo 5

No enunciado, a solução geral proposta é . Esse formato acontece quando a equação característica tem raízes reais e iguais, ou seja, quando o discriminante .

Passo 6

Então, vamos igualar o discriminante a zero para encontrar os valores de :
Resolvendo essa equação:
Portanto, ou .

Passo 7

Vamos analisar cada caso:
  1. Para :
    A equação diferencial fica , cuja solução geral é . Essa não está na forma proposta com exponenciais, então descartamos .
  2. Para :
    A equação característica é , que tem uma raiz dupla . Portanto, a solução geral é:
    Essa está na mesma forma que a proposta no enunciado, confirmando que é válido.

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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