Encontre todos os valores de
para os quais a equação diferencial
tenha uma solução geral da forma dada:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de
para os quais a equação diferencial
tem uma solução geral da forma
. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da equação diferencial que temos:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente sabe que para resolver esse tipo de equação, geralmente encontramos as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica para
é dada por:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
.
Passo 4
A gente pode usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
O discriminante aqui é
. Dependendo do valor de
, teremos diferentes tipos de soluções.
Passo 5
No enunciado, a solução geral proposta é
. Esse formato acontece quando a equação característica tem raízes reais e iguais, ou seja, quando o discriminante
.
Passo 6
Então, vamos igualar o discriminante a zero para encontrar os valores de
:
Resolvendo essa equação:
Portanto,
ou
.
Passo 7
Vamos analisar cada caso:
-
Para
:
A equação diferencial fica, cuja solução geral é . Essa não está na forma proposta com exponenciais, então descartamos . -
Para
:
A equação característica é, que tem uma raiz dupla . Portanto, a solução geral é: Essa está na mesma forma que a proposta no enunciado, confirmando queé válido.
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.