Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Além disso, encontre a solução geral de
, sabendo que
é uma solução particular.
Além disso, encontre a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o professor te passou:
. O que isso quer dizer é que temos uma relação entre a função
e suas derivadas primeiras e segundas. O objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO, ou seja, uma expressão que engloba todas as soluções possíveis da equação. Além disso, já sabemos que
é uma solução específica. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma solução particular. Sabemos que
satisfaz a equação
. Para encontrar a solução geral, precisamos de uma segunda solução
que não seja múltiplo de
. A ideia aqui é assumir que
é igual a
, ou seja,
, onde
é uma função que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo:
Vamos simplificar isso:
Os termos
e
se cancelam:
Passo 5
Podemos simplificar ainda mais dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vamos chamar
, então a equação fica:
Passo 6
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante de integração. Portanto:
Lembrando que
, temos:
Passo 8
Agora, precisamos integrar
para encontrar
:
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la em termos da função exponencial integral. No entanto, para fins de solução geral, vamos deixar a integral e incorporar as constantes adequadamente.
Passo 9
Voltando à nossa segunda solução:
Como essa expressão é bastante complexa, geralmente aceitamos soluções que envolvem integrais não elementares ou usamos séries para expressar
. Para simplificar, reconhecemos que a solução geral será uma combinação linear das soluções conhecidas.
Resposta
Então, a solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
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