Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Além disso, encontre a solução geral de , sabendo que é uma solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o professor te passou: . O que isso quer dizer é que temos uma relação entre a função e suas derivadas primeiras e segundas. O objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO, ou seja, uma expressão que engloba todas as soluções possíveis da equação. Além disso, já sabemos que é uma solução específica. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma solução particular. Sabemos que satisfaz a equação . Para encontrar a solução geral, precisamos de uma segunda solução que não seja múltiplo de . A ideia aqui é assumir que é igual a , ou seja, , onde é uma função que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação original:
Substituindo:
Vamos simplificar isso:
Os termos e se cancelam:

Passo 5

Podemos simplificar ainda mais dividindo todos os termos por (assumindo ):
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para . Vamos chamar , então a equação fica:

Passo 6

Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante de integração. Portanto:
Lembrando que , temos:

Passo 8

Agora, precisamos integrar para encontrar :
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la em termos da função exponencial integral. No entanto, para fins de solução geral, vamos deixar a integral e incorporar as constantes adequadamente.

Passo 9

Voltando à nossa segunda solução:
Como essa expressão é bastante complexa, geralmente aceitamos soluções que envolvem integrais não elementares ou usamos séries para expressar . Para simplificar, reconhecemos que a solução geral será uma combinação linear das soluções conhecidas.

Resposta

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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