Encontre a solução geral de cada uma das EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Essa equação é do tipo linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo por e por 1. Então, temos:
Essa é a equação que vamos resolver para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Encontramos raízes complexas e .

Passo 4

Quando as raízes são complexas do tipo , a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso, e , então:
Aqui, e são constantes que determinam a solução específica.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas abaixo:
A formulação matemática da lei empírica de Newton para o resfriamento/aquecimento de um objeto é dada pela equação diferencial linear de primeira ordem
em que é a temperatura do objeto para é a temperatura ambiente e é uma constante de proporcionalidade. Sabendo disso resolva o seguinte problema:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é . Três minutos mais tarde, sua temperatura é . Quanto tempo levará para o bolo resfriar até a temperatura ambiente de ? A resposta está de acordo com sua intuição física? Caso não encontre um tempo exato, faça uma aproximação, utilize uma ferramenta computacional se necessário.
Resolva os seguintes PVI(b) ;
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(i)