Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Essa equação é do tipo linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
e
por 1. Então, temos:
Essa é a equação que vamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Encontramos raízes complexas
e
.
Passo 4
Quando as raízes são complexas do tipo
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso,
e
, então:
Aqui,
e
são constantes que determinam a solução específica.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas abaixo:
A formulação matemática da lei empírica de Newton para o resfriamento/aquecimento de um objeto é dada pela equação diferencial linear de primeira ordem
em que
é a temperatura do objeto para
é a temperatura ambiente e
é uma constante de proporcionalidade. Sabendo disso resolva o seguinte problema:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é . Três minutos mais tarde, sua temperatura é
. Quanto tempo levará para o bolo resfriar até a temperatura ambiente de
? A resposta está de acordo com sua intuição física? Caso não encontre um tempo exato, faça uma aproximação, utilize uma ferramenta computacional se necessário.
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é
Resolva os seguintes PVI(b)
;
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(i)
(i)