Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
2.
;
2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais exatas. Esse método é usado quando conseguimos reescrever a equação diferencial de uma forma que ela possa ser derivada de uma função potencial
. Vamos ver passo a passo como aplicar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação que correspondem a
e
na forma geral de uma equação diferencial exata:
No nosso caso:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais.
Calculando:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função apenas de
que surge porque estamos integrando em relação a
.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial é dada por
. Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.