Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
2. (3x + y - 2) dx + (x - 1) dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais exatas. Esse método é usado quando conseguimos reescrever a equação diferencial de uma forma que ela possa ser derivada de uma função potencial . Vamos ver passo a passo como aplicar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação que correspondem a e na forma geral de uma equação diferencial exata:
No nosso caso:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se elas são iguais.
Calculando:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função . Para isso, integramos em relação a :
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função apenas de que surge porque estamos integrando em relação a .

Passo 5

Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Subtraindo de ambos os lados:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é dada por . Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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