Resolva os seguintes PVI© .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema com Valor Inicial (PVI) que a gente recebeu. A equação que temos é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares, especificamente encontrando as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso, , e , então temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, as raízes serão complexas.

Passo 4

Vamos simplificar a raiz quadrada:
Então, as raízes são:
Essas são raízes complexas conjugadas, da forma .

Passo 5

Quando temos raízes complexas , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então a solução geral fica:

Passo 6

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Portanto, .

Passo 7

Em seguida, precisamos encontrar usando . Primeiro, vamos derivar :
Derivando:
Simplificando:
Agora, aplicamos :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes PVI(a) ;
Encontre os valores de tal que o gráfico de
seja côncavo para cima em todos os pontos.
Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
2. ;
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.