Resolva os seguintes PVI©
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema com Valor Inicial (PVI) que a gente recebeu. A equação que temos é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares, especificamente encontrando as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso,
,
e
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, as raízes serão complexas.
Passo 4
Vamos simplificar a raiz quadrada:
Então, as raízes são:
Essas são raízes complexas conjugadas, da forma
.
Passo 5
Quando temos raízes complexas
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, então a solução geral fica:
Passo 6
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Portanto,
.
Passo 7
Em seguida, precisamos encontrar
usando
. Primeiro, vamos derivar
:
Derivando:
Simplificando:
Agora, aplicamos
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes PVI(a)
;
Encontre os valores de
tal que o gráfico de
seja côncavo para cima em todos os pontos.
Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
2. ;
2.
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.