Resolva os seguintes PVI©
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema com Valor Inicial (PVI) que a gente recebeu. A equação que temos é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares, especificamente encontrando as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso,
,
e
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, as raízes serão complexas.
Passo 4
Vamos simplificar a raiz quadrada:
Então, as raízes são:
Essas são raízes complexas conjugadas, da forma
.
Passo 5
Quando temos raízes complexas
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, então a solução geral fica:
Passo 6
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Portanto,
.
Passo 7
Em seguida, precisamos encontrar
usando
. Primeiro, vamos derivar
:
Derivando:
Simplificando:
Agora, aplicamos
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é: