Resolva os seguintes PVI© I''(t) + 2 I'(t) + 5 I(t) = 0, I(0) = 2, I'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema com Valor Inicial (PVI) que a gente recebeu. A equação que temos é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares, especificamente encontrando as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso, , e , então temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, as raízes serão complexas.

Passo 4

Vamos simplificar a raiz quadrada:
Então, as raízes são:
Essas são raízes complexas conjugadas, da forma .

Passo 5

Quando temos raízes complexas , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então a solução geral fica:

Passo 6

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Portanto, .

Passo 7

Em seguida, precisamos encontrar usando . Primeiro, vamos derivar I(t):
Derivando:
Simplificando:
Agora, aplicamos :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:

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