Resolva os seguintes PVI(a) (D^2 + 1) y = 0, y(0) = 4, y' (0) = 0;

Passo 1

Vamos resolver o problema: , com as condições iniciais y(0) = 4 e y'(0) = 0. Esse é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial dada: . Aqui, representa a segunda derivada de y em relação a t.

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos o método dos coeficientes constantes. Assumimos uma solução da forma , onde r é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Substituímos na equação diferencial:
Fatorando (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 5

Resolvemos a equação característica :
Como as raízes são complexas, a solução geral será uma combinação de funções trigonométricas.

Passo 6

A solução geral para equações com raízes complexas é:
No nosso caso, e , então a solução fica:

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de y(t):
Aplicando :

Resposta

A solução do problema é:

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