Resolva os seguintes PVI(a)
;
Passo 1
Vamos resolver o problema:
, com as condições iniciais
e
. Esse é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial dada:
. Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos o método dos coeficientes constantes. Assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Substituímos
na equação diferencial:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 5
Resolvemos a equação característica
:
Como as raízes são complexas, a solução geral será uma combinação de funções trigonométricas.
Passo 6
A solução geral para equações com raízes complexas
é:
No nosso caso,
e
, então a solução fica:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Primeiro, calculamos a derivada de
Aplicando
:
Resposta
A solução do problema é: