Resolva os seguintes PVI(a) ;

Passo 1

Vamos resolver o problema: , com as condições iniciais e . Esse é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial dada: . Aqui, representa a segunda derivada de em relação a .

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos o método dos coeficientes constantes. Assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Substituímos na equação diferencial:
Fatorando (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 5

Resolvemos a equação característica :
Como as raízes são complexas, a solução geral será uma combinação de funções trigonométricas.

Passo 6

A solução geral para equações com raízes complexas é:
No nosso caso, e , então a solução fica:

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando :

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Encontre os valores de tal que o gráfico de
seja côncavo para cima em todos os pontos.
Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do , destacando se este comportamento depende do valor inicial ;
(d) ;
Resolva os seguintes PVI© .
Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
2. ;