Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do polinômio característico, que nos ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o polinômio característico da equação. Para isso, substituímos cada derivada de
por
elevado à potência correspondente:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de
. Vamos tentar encontrar uma raiz real racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando alguns valores, percebemos que
é uma raiz, pois:
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar
do polinômio:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadr��tica
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para a raiz real
, temos uma solução
. Para as raízes complexas
, a solução correspondente é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
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