Encontre a solução geral para cada equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do polinômio característico, que nos ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o polinômio característico da equação. Para isso, substituímos cada derivada de por elevado à potência correspondente:
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de . Vamos tentar encontrar uma raiz real racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando alguns valores, percebemos que é uma raiz, pois:
Então, é uma raiz. Podemos fatorar do polinômio:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadr��tica usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para a raiz real , temos uma solução . Para as raízes complexas , a solução correspondente é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde , e são constantes arbitrárias.

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Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
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