Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
Isso significa que estamos ignorando o termo constante do lado direito por enquanto.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, assumimos que a solução tem a forma:
Onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 4
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Então, a equação fica:
Passo 5
Podemos fatorar
(que nunca é zero) e obter a equação característica:
Passo 6
Resolvendo a equação característica:
Passo 7
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é uma constante, vamos assumir que
também é uma constante, digamos
.
Passo 9
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
O que não faz sentido. Isso significa que nossa suposição inicial não funcionou.
Passo 10
Quando isso acontece, tentamos multiplicar nossa suposição por
. Então, vamos assumir
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 11
Então, nossa solução particular é:
Passo 12
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial ��:
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