Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
Isso significa que estamos ignorando o termo constante do lado direito por enquanto.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos que a solução tem a forma:
Onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 4

Substituindo na equação homogênea, temos:
Então, a equação fica:

Passo 5

Podemos fatorar (que nunca é zero) e obter a equação característica:

Passo 6

Resolvendo a equação característica:

Passo 7

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é uma constante, vamos assumir que também é uma constante, digamos .

Passo 9

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
O que não faz sentido. Isso significa que nossa suposição inicial não funcionou.

Passo 10

Quando isso acontece, tentamos multiplicar nossa suposição por . Então, vamos assumir .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:

Passo 11

Então, nossa solução particular é:

Passo 12

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial ��:

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
Resolva as equações diferenciais pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.