Encontre a solução geral para cada equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos polinômios característicos, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o polinômio característico da equação. Para uma equação diferencial linear como essa, o polinômio é obtido substituindo por . Então, nossa equação vira:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação polinomial para encontrar os valores de . Vamos resolver:
Os valores de que satisfazem essa equação são as raízes cúbicas da unidade, que são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos raízes reais distintas, a solução é uma combinação linear das funções exponenciais dessas raízes. Porém, aqui temos uma raiz real e duas complexas conjugadas.
Então, a solução geral será:
Onde é a parte real e a parte imaginária das raízes complexas.

Passo 5

Aplicando os valores das raízes:
  • Para :
  • Para e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde , e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo astróide , cuja parametrização é dada por .
Figura 3: Astróide.
Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.