Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos polinômios característicos, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o polinômio característico da equação. Para uma equação diferencial linear como essa, o polinômio é obtido substituindo
por
. Então, nossa equação
vira:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação polinomial
para encontrar os valores de
. Vamos resolver:
Os valores de
que satisfazem essa equação são as raízes cúbicas da unidade, que são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos raízes reais distintas, a solução é uma combinação linear das funções exponenciais dessas raízes. Porém, aqui temos uma raiz real e duas complexas conjugadas.
Então, a solução geral será:
Onde
é a parte real e
a parte imaginária das raízes complexas.
Passo 5
Aplicando os valores das raízes:
-
Para
: -
Para
e :
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo astróide
, cuja parametrização é dada por
.
Figura 3: Astróide.
Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.