Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para resolver a equação diferencial
Vamos usar o método de coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar uma solução particular da equação diferencial quando o lado direito (o que está fora da equação) é uma combinação de polinômios, exponenciais, senos ou cossenos. Precisamos também encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois juntar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos o polinômio característico:
Vamos resolver esse polinômio para encontrar os valores de .

Passo 3

Observando o polinômio característico:
Percebo que é uma raiz, pois substituindo:
Então, podemos fatorar e dividir o polinômio por isso para encontrar as outras raízes.

Passo 4

Dividindo por , obtemos:
O termo pode ser fatorado como . Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
O lado direito tem dois termos: um polinômio e uma exponencial . Precisamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somá-las.

Passo 7

Primeiro, para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 8

Agora, para o termo , notamos que já está na solução homogênea. Para evitar a duplicação, multiplicamos por :
Aqui, e são outros coeficientes a determinar.

Passo 9

A solução particular total é a soma das duas:
Vamos agora derivar essa expressão e substituir na equação original para encontrar os coeficientes e .

Passo 10

Após calcular as derivadas de e substituir na equação, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver o sistema de equações e encontrar e . (Os cálculos são um pouco extensos, mas seguindo esse processo, chegamos aos valores desejados.)

Passo 11

Depois de determinar os coeficientes, a solução particular fica:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde e são constantes arbitrárias.

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