Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para resolver a equação diferencial
Vamos usar o método de coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar uma solução particular da equação diferencial quando o lado direito (o que está fora da equação) é uma combinação de polinômios, exponenciais, senos ou cossenos. Precisamos também encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois juntar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos o polinômio característico:
Vamos resolver esse polinômio para encontrar os valores de
.
Passo 3
Observando o polinômio característico:
Percebo que
é uma raiz, pois substituindo:
Então, podemos fatorar
e dividir o polinômio por isso para encontrar as outras raízes.
Passo 4
Dividindo
por
, obtemos:
O termo
pode ser fatorado como
. Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
O lado direito tem dois termos: um polinômio
e uma exponencial
. Precisamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somá-las.
Passo 7
Primeiro, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 8
Agora, para o termo
, notamos que
já está na solução homogênea. Para evitar a duplicação, multiplicamos por
:
Aqui,
e
são outros coeficientes a determinar.
Passo 9
A solução particular total é a soma das duas:
Vamos agora derivar essa expressão e substituir na equação original para encontrar os coeficientes
e
.
Passo 10
Após calcular as derivadas de
e substituir na equação, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver o sistema de equações e encontrar
e
. (Os cálculos são um pouco extensos, mas seguindo esse processo, chegamos aos valores desejados.)
Passo 11
Depois de determinar os coeficientes, a solução particular fica:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias.
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