Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
a) 4 y'' + y' = 0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, para resolver uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, a gente começa encontrando a equação característica. Isso é feito substituindo por e por . Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar um :
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 4

Com as raízes encontradas ( e ), que são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das exponenciais dessas raízes multiplicadas por constantes.

Passo 5

Portanto, a solução geral fica:
Simplificando para 1:
Onde e são constantes arbitrárias que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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