, onde é o pedaço da esfera na região .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície , onde é a parte da esfera na região onde . Este problema está relacionado ao cálculo de integrais de superfície em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície da esfera e como definir os limites da região onde .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A esfera dada por tem raio 1 e está centrada na origem. A condição define uma região específica dessa esfera. Vamos encontrar os pontos na esfera que satisfazem essa desigualdade.

Passo 3

Para encontrar os pontos onde , substituímos na equação da esfera:
Podemos resolver essas equações juntas para encontrar a curva de interseção.

Passo 4

Resolvendo para , temos . Substituindo na equação da esfera:
Isso descreve um círculo na esfera.

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a superfície . Podemos usar coordenadas esféricas, onde:
Aqui, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 6

A condição em coordenadas esféricas fica:
Isso define o limite para os ângulos e que descrevem a região .

Passo 7

No entanto, para simplificar a integração, notamos que a condição apenas é satisfeita no ponto onde e com , já que na esfera de raio 1, não pode exceder . Portanto, a região é um pequeno ponto, o que simplifica a integral.

Passo 8

Devido à simetria e ao fato de que a região é um ponto (ou uma área extremamente pequena), o valor da integral será zero, já que multiplicamos por uma área nula.

Resposta

O valor da integral de superfície é .

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
a)
Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
a)
, onde é o pedaço do cone no interior do cilindro .
e é o pedaço do plano contido no interior da esfera , orientado pela normal apontando para cima.