, onde
é o pedaço da esfera
na região
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a parte da esfera
na região onde
. Este problema está relacionado ao cálculo de integrais de superfície em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície da esfera e como definir os limites da região onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A esfera dada por
tem raio 1 e está centrada na origem. A condição
define uma região específica dessa esfera. Vamos encontrar os pontos na esfera que satisfazem essa desigualdade.
Passo 3
Para encontrar os pontos onde
, substituímos na equação da esfera:
Podemos resolver essas equações juntas para encontrar a curva de interseção.
Passo 4
Resolvendo
para
, temos
. Substituindo na equação da esfera:
Isso descreve um círculo na esfera.
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Podemos usar coordenadas esféricas, onde:
Aqui,
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 6
A condição
em coordenadas esféricas fica:
Isso define o limite para os ângulos
e
que descrevem a região
.
Passo 7
No entanto, para simplificar a integração, notamos que a condição
apenas é satisfeita no ponto onde
e
com
, já que na esfera de raio 1,
não pode exceder
. Portanto, a região
é um pequeno ponto, o que simplifica a integral.
Passo 8
Devido à simetria e ao fato de que a região
é um ponto (ou uma área extremamente pequena), o valor da integral
será zero, já que multiplicamos por uma área nula.
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
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Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
a)
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Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
a)
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