Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t.
z = e^(x^2 - y^2), x = t + 1, y = t - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a derivada de em relação a usando a Regra da Cadeia. Temos que , onde e . Então, vamos precisar entender como depende de e , e como e dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
  • é uma função de e .
  • é uma função de .
  • também é uma função de .

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que, para encontrar , precisamos derivar em relação a e a , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a . Ou seja:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos derivar e em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 6

Substituindo todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos substituir e na expressão:

Passo 8

Vamos simplificar o expoente:
Então:

Passo 9

Fatorando :

Resposta

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