Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
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Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método de coeficientes a determinar. Esse método é parte da matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea correspondente:
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é
. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Calculamos o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
As raízes são:
Portanto,
e
.
Passo 6
A solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo do lado direito é constante, vamos tentar uma solução particular constante.
Passo 8
Assumimos que
, onde
é uma constante a ser determinada. Derivando, temos:
Passo 9
Substituindo
,
, e
na equação original:
Passo 10
Portanto, a solução particular é
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.