Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
a) y'' + 3y' + 2y = 6

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método de coeficientes a determinar. Esse método é parte da matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea correspondente: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Calculamos o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

As raízes são:
Portanto, e .

Passo 6

A solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa . Como o termo do lado direito é constante, vamos tentar uma solução particular constante.

Passo 8

Assumimos que , onde é uma constante a ser determinada. Derivando, temos:

Passo 9

Substituindo , , e na equação original:

Passo 10

Portanto, a solução particular é .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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