Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, características das soluções homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Isso significa que precisamos encontrar a solução da equação quando o lado direito é zero.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica associada. Substituímos
na equação homogênea:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos considerar cada termo do lado direito separadamente e encontrar suas soluções particulares.
Passo 7
Primeiro, para o termo constante
, supomos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Derivadas:
Substituímos na equação:
Então,
.
Passo 8
Segundo, para o termo
, supomos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Derivadas:
Substituímos na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 9
Terceiro, para o termo
, percebemos que
já faz parte da solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Derivadas:
Substituímos na equação:
Simplificando:
Então,
.
Passo 10
Finalmente, a solução particular completa é a soma das soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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