Encontre a solução geral de cada equação a seguir:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, características das soluções homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Isso significa que precisamos encontrar a solução da equação quando o lado direito é zero.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica associada. Substituímos na equação homogênea:

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos considerar cada termo do lado direito separadamente e encontrar suas soluções particulares.

Passo 7

Primeiro, para o termo constante , supomos uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.
Derivadas:
Substituímos na equação:
Então, .

Passo 8

Segundo, para o termo , supomos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.
Derivadas:
Substituímos na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 9

Terceiro, para o termo , percebemos que já faz parte da solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular:
Onde é uma constante a ser determinada.
Derivadas:
Substituímos na equação:
Simplificando:
Então, .

Passo 10

Finalmente, a solução particular completa é a soma das soluções particulares encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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