Encontre a solução geral de cada equação a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é .
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Isso nos dá as raízes:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa .
Dado que o lado direito é e que já é uma solução da homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar soluções da homogênea. Assim, assumimos:
Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Após simplificar e igualar os coeficientes dos termos semelhantes, resolvemos para e :
Igualando os coeficientes:
Da primeira e terceira equações, temos . Substituindo em :
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Encontre a solução geral de cada equação a seguir: