Encontre a solução geral de cada equação a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial de segunda ordem:
O que a gente vai fazer aqui envolve equações diferenciais lineares e solução geral. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito é zero:
Para resolver, a gente usa a equação característica. Substituímos na equação homogênea:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea fica:
Aqui, e são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a parte não homogênea:
Vamos dividir isso em duas partes: e .

Passo 6

Observando que e já estão na solução homogênea, precisamos multiplicar por para garantir que as soluções sejam linearmente independentes.
Então, proponho uma forma para :
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Substituindo na equação original e resolvendo para , e , encontramos:

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Ou simplificando:
Onde e são constantes arbitrárias.

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