Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial de segunda ordem:
O que a gente vai fazer aqui envolve equações diferenciais lineares e solução geral. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito é zero:
Para resolver, a gente usa a equação característica. Substituímos
na equação homogênea:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea fica:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a parte não homogênea:
Vamos dividir isso em duas partes:
e
.
Passo 6
Observando que
e
já estão na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para garantir que as soluções sejam linearmente independentes.
Então, proponho uma forma para
:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 7
Substituindo
na equação original e resolvendo para
,
e
, encontramos:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Ou simplificando:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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