Encontre a solução geral de cada equação a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos dividir isso em etapas para facilitar!

Passo 2

primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, usamos a equação característica. Substituímos por , o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vão depender das condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
Vamos resolver isso observando cada termo do lado direito separadamente.
Para o termo :
Assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Resolvendo para :
Então:
Para o termo :
Como já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para evitar conflitos. Assumimos então:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial e igualando os coeficientes, resolvemos para e :
Após os cálculos, encontramos:
Então:
Solução particular completa:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
$(a)
$(b) , com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Encontre a solução geral de cada equação a seguir: