Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos dividir isso em etapas para facilitar!
Passo 2
primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, usamos a equação característica. Substituímos
por
, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vão depender das condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
Vamos resolver isso observando cada termo do lado direito separadamente.
Para o termo
:
Assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Resolvendo para
:
Então:
Para o termo
:
Como
já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar conflitos. Assumimos então:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial e igualando os coeficientes, resolvemos para
e
:
Após os cálculos, encontramos:
Então:
Solução particular completa:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
$(a)
$(b) , com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
$(b)
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
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