Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me trouxe uma equação diferencial do tipo
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Vamos precisar achar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para o lado direito não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso significa que estamos ignorando o termo
por enquanto.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação original completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para o termo constante
e outra para o termo
.
Passo 7
Para o termo constante
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Hmm, isso não faz sentido. Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição. Como a equação homogênea tem uma solução constante (
), nossa suposição precisa ser multiplicada por
para evitar soluções triviais. Então, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular para o termo constante é:
Passo 8
Para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
.
Portanto, a solução particular para o termo
é:
Passo 9
Agora, combinamos as soluções particulares encontradas:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
$(a)
$(b) , com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
$(b)
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Estude a convergência das séries:
e)
e)
Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Encontre a solução geral de cada equação a seguir: