Encontre a solução geral de cada equação a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me trouxe uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Vamos precisar achar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para o lado direito não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso significa que estamos ignorando o termo por enquanto.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica substituindo por , por e por 1:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Isso nos dá duas raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação original completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para o termo constante e outra para o termo .

Passo 7

Para o termo constante , assumimos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Hmm, isso não faz sentido. Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição. Como a equação homogênea tem uma solução constante ( ), nossa suposição precisa ser multiplicada por para evitar soluções triviais. Então, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular para o termo constante é:

Passo 8

Para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Portanto, a solução particular para o termo é:

Passo 9

Agora, combinamos as soluções particulares encontradas:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

$(a)
$(b) , com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Estude a convergência das séries:
e)
Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Encontre a solução geral de cada equação a seguir: