Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. A equação que temos é uma equação diferencial linear com uma matriz de coeficientes. Para resolver, vamos precisar usar autovalores e autovetores. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica det, onde é a matriz dos coeficientes e é a matriz identidade.
Nossa matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
Expandindo:
Então:
Agora, igualamos a zero para encontrar os autovalores:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor dupla.
Passo 3
Como temos um autovalor repetido, precisamos verificar se existe apenas um autovetor ou dois. Vamos encontrar o autovetor correspondente a .
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Ambas as equações são iguais, então podemos escolher , então .
Portanto, um autovetor associado é:
Passo 4
Como temos um autovalor repetido com apenas um autovetor, precisamos encontrar um vetor generalizado para completar a base. Para isso, resolvemos :
Isso resulta em:
Resolvendo, temos e . Assim, um vetor generalizado é:
Passo 5
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema utilizando os autovalores, autovetores e o vetor generalizado. A solução geral para um sistema com autovalor repetido é: