Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. A equação que temos é uma equação diferencial linear com uma matriz de coeficientes. Para resolver, vamos precisar usar autovalores e autovetores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica det , onde é a matriz dos coeficientes e é a matriz identidade.
Nossa matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
Expandindo:
Então:
Agora, igualamos a zero para encontrar os autovalores:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor dupla .

Passo 3

Como temos um autovalor repetido, precisamos verificar se existe apenas um autovetor ou dois. Vamos encontrar o autovetor correspondente a .
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Ambas as equações são iguais, então podemos escolher , então .
Portanto, um autovetor associado é:

Passo 4

Como temos um autovalor repetido com apenas um autovetor, precisamos encontrar um vetor generalizado para completar a base. Para isso, resolvemos :
Isso resulta em:
Resolvendo, temos e . Assim, um vetor generalizado é:

Passo 5

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema utilizando os autovalores, autovetores e o vetor generalizado. A solução geral para um sistema com autovalor repetido é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Agrupando os termos:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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.
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