Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Conteúdo: Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes.
O que precisamos: Encontrar a solução geral dessa equação usando métodos de resolução para equações diferenciais homogêneas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos:
Então, a equação característica será:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes .
Usaremos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação diferencial será:
Substituindo os valores das raízes:
Onde e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se forem dadas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.