Use o método de variação de parâmetros e resolva o problema de valor inicial sent .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. A equação que a gente tem é:
Além disso, as condições iniciais são e . A gente vai precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como usar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para isso, vamos achar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Então:
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homog��nea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.

Passo 5

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. Sabemos que o lado direito é .
Primeiro, escrevemos as soluções da homogênea:

Passo 6

Usamos o método de variação de parâmetros, onde assumimos que a solução particular tem a forma:
Precisamos achar e . Para isso, calculamos as derivadas e montamos um sistema de equações.

Passo 7

Calculando as derivadas:
Mas para simplificar, impomos que:
Isso facilita o cálculo de e .

Passo 8

Montamos o sistema:
Resolvendo esse sistema para e :
Multiplicamos a primeira equação por :
Subtraindo da segunda equação:
Simplificando, encontramos :
Integrando:
Podemos ignorar a constante porque já está na solução homogênea.

Passo 9

Voltando à primeira equação:
Substituindo :
Isolando :
Integrando:
Novamente, ignoramos a constante.

Passo 10

Agora temos e . Substituindo na solução particular:

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Ou seja:
Para , calculamos a derivada de e avaliamos em :
Depois de calcular e substituir , encontramos:
Resolvendo o sistema:
Somando as equações:

Resposta

A solução do problema é:

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b.
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