Use o método de variação de parâmetros e resolva o problema de valor inicial
sent
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. A equação que a gente tem é:
Além disso, as condições iniciais são
e
. A gente vai precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como usar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para isso, vamos achar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Então:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homog��nea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.
Passo 5
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. Sabemos que o lado direito é
.
Primeiro, escrevemos as soluções da homogênea:
Passo 6
Usamos o método de variação de parâmetros, onde assumimos que a solução particular tem a forma:
Precisamos achar
e
. Para isso, calculamos as derivadas e montamos um sistema de equações.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Mas para simplificar, impomos que:
Isso facilita o cálculo de
e
.
Passo 8
Montamos o sistema:
Resolvendo esse sistema para
e
:
Multiplicamos a primeira equação por
:
Subtraindo da segunda equação:
Simplificando, encontramos
:
Integrando:
Podemos ignorar a constante porque já está na solução homogênea.
Passo 9
Voltando à primeira equação:
Substituindo
:
Isolando
:
Integrando:
Novamente, ignoramos a constante.
Passo 10
Agora temos
e
. Substituindo na solução particular:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Ou seja:
Para
, calculamos a derivada de
e avaliamos em
:
Depois de calcular e substituir
, encontramos:
Resolvendo o sistema:
Somando as equações:
Resposta
A solução do problema é:
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b.
b.
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