Encontre a solução geral das seguintes EDOc.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária com sistema, que está assim:
Aqui, estamos trabalhando com um sistema linear de equações diferenciais, ou seja, estamos lidando com matrizes e vetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz que está na equação. Esses elementos são fundamentais para montar a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz:
Os autovalores ( ) são encontrados resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Calculando isso:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Primeiro, para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
A segunda equação é redundante, então podemos escolher , então . Portanto, um autovetor para é:

Passo 5

Agora, para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Novamente, a segunda equação é redundante, então escolhemos , então . Portanto, um autovetor para é:

Passo 6

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução será uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde e são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral do sistema é:

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