Encontre a solução geral das seguintes EDOc.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária com sistema, que está assim:
Aqui, estamos trabalhando com um sistema linear de equações diferenciais, ou seja, estamos lidando com matrizes e vetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz que está na equação. Esses elementos são fundamentais para montar a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz:
Os autovalores (
) são encontrados resolvendo o determinante da matriz
igual a zero:
Calculando isso:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Primeiro, para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
A segunda equação é redundante, então podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor para
é:
Passo 5
Agora, para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
Novamente, a segunda equação é redundante, então escolhemos
, então
. Portanto, um autovetor para
é:
Passo 6
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução será uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde
e
são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Exercícios relacionados
Use o método de variação de parâmetros e resolva o problema de valor inicial
sent
.
Encontre a solução geral das seguintes EDOb.
Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.
Resolva os problemas de valor inicial.