Encontre a solução geral real de cada problema de valor inicial dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de sistema de equações diferenciais lineares. O enunciado nos pede para encontrar a solução geral real do sistema dado pela equação
, com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais com condições iniciais, utilizando métodos como encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
. Para encontrar a solução geral, precisamos calcular os autovalores dessa matriz. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a equação característica:
Agora, calculamos o determinante:
Passo 4
Expandindo a expressão:
Então, temos a equação quadrática
. Vamos resolver para
.
Passo 5
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Onde
,
, e
.
Passo 6
Como o discriminante (
) é negativo, os autovalores são complexos. Podemos escrever
, onde
é a unidade imaginária. Então:
Passo 7
Agora que temos os autovalores complexos
, podemos escrever a solução geral do sistema. Para autovalores da forma
, a solução geral é:
Onde
é o vetor próprio associado ao autovalor.
Passo 8
Vamos encontrar o vetor próprio
associado a
. Resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
$ v_1 + (-2 - i)v_2 = 0$
Podemos resolver para
em termos de
:
Multiplicando numerador e denominador por
para racionalizar:
Então, podemos escolher
, logo
. Portanto, temos
.
Passo 9
Agora que temos
,
, e
, a solução geral fica:
(Dado que os autovalores são complexos conjugados, podemos combinar as soluções para obter a forma real da solução.)
Passo 10
Após simplificar, a solução geral real do sistema é:
Passo 11
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar os valores das constantes
e
.
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 12
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, já sabemos que
. Substituindo na primeira:
Passo 13
Com
e
, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A solução geral real do sistema é:
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, as seguinbe equagós.
a)
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