Encontre a solução geral real de cada problema de valor inicial dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de sistema de equações diferenciais lineares. O enunciado nos pede para encontrar a solução geral real do sistema dado pela equação , com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais com condições iniciais, utilizando métodos como encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema: . Para encontrar a solução geral, precisamos calcular os autovalores dessa matriz. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a equação característica:
Agora, calculamos o determinante:

Passo 4

Expandindo a expressão:
Então, temos a equação quadrática . Vamos resolver para .

Passo 5

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Onde , , e .

Passo 6

Como o discriminante ( ) é negativo, os autovalores são complexos. Podemos escrever , onde é a unidade imaginária. Então:

Passo 7

Agora que temos os autovalores complexos , podemos escrever a solução geral do sistema. Para autovalores da forma , a solução geral é:
Onde é o vetor próprio associado ao autovalor.

Passo 8

Vamos encontrar o vetor próprio associado a . Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
$ v_1 + (-2 - i)v_2 = 0$
Podemos resolver para em termos de :
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:
Então, podemos escolher , logo . Portanto, temos .

Passo 9

Agora que temos , , e , a solução geral fica:
(Dado que os autovalores são complexos conjugados, podemos combinar as soluções para obter a forma real da solução.)

Passo 10

Após simplificar, a solução geral real do sistema é:

Passo 11

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar os valores das constantes e .
Substituindo :
Simplificando:

Passo 12

Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, já sabemos que . Substituindo na primeira:

Passo 13

Com e , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução geral real do sistema é:

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a)