Resolva os PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial) que é uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais e Separação de Variáveis para encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
para conseguir integrar cada lado da equação separadamente. Começamos reescrevendo a equação:
Podemos reescrever
como
:
Passo 3
Agora, vamos isolar os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro lado. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Isso facilita a integração, pois temos cada variável em um lado separado da equação.
Passo 4
Vamos agora integrar ambos os lados. Primeiro, integramos o lado esquerdo:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 2:
Para facilitar, podemos renomear
como uma nova constante
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Utilizamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Passo 8
Vamos resolver para
. Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na equação de
:
Simplificando os termos:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais:
Um tanque contém 500 litros de cerveja com
de teor alcoólico (em volume). Cerveja com teor alcoólico de
é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
e a mistura é bombeada para fora do tanque à mesma taxa. Qual o teor alcoólico da mistura no tanque após uma hora?
Encontre a solução geral real de cada problema de valor inicial dado:
Encontre a solução geral de cada um dos sistemas dados e esboce o plano de fase: