Resolva os PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial) que é uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais e Separação de Variáveis para encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e para conseguir integrar cada lado da equação separadamente. Começamos reescrevendo a equação:
Podemos reescrever como :

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro lado. Para isso, dividimos ambos os lados por :
Isso facilita a integração, pois temos cada variável em um lado separado da equação.

Passo 4

Vamos agora integrar ambos os lados. Primeiro, integramos o lado esquerdo:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 2:
Para facilitar, podemos renomear como uma nova constante :

Passo 6

Agora, vamos resolver para elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Utilizamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Simplificando:

Passo 8

Vamos resolver para . Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na equação de :
Simplificando os termos:

Resposta

A solução do PVI é:

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Encontre a solução geral real de cada problema de valor inicial dado:
Encontre a solução geral de cada um dos sistemas dados e esboce o plano de fase: