Encontre a solução geral. se uma condição inicial for dada, encontre também a solução particular correspondente e represente-a graficamente ou esboce-a. (mostre os detalhes do seu trabalho.)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação no formato padrão, encontrar o fator integrante e então integrar para obter a solução geral e particular.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear, que é
. Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada total:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a solução particular. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Com a condição inicial
, a solução particular é:
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto. Prove que
Dê uma descrição explícita da função
que é dada por essa fórmula lógica.
Prove que a composição de funções é associativa. Ou seja, dadas funções
e
, prove que
Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.