Encontre a solução geral. se uma condição inicial for dada, encontre também a solução particular correspondente e represente-a graficamente ou esboce-a. (mostre os detalhes do seu trabalho.) 6. x^2 y' + 3 x y = 1/x, y(1) = -1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação no formato padrão, encontrar o fator integrante e então integrar para obter a solução geral e particular.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear, que é . Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Simplificando os termos:
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada total:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a solução particular. Substituindo e na equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Com a condição inicial , a solução particular é:

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