Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções e conjuntos. A gente tem uma função
e dois subconjuntos
e
de
. A missão é descobrir se a interseção das imagens de
e
está sempre dentro da imagem da interseção de
e
, ou seja, se
é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são imagem de um conjunto e a interseção de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de um conjunto pela função
. A imagem de
por
, escrita
, é o conjunto de todos os pontos
onde
pertence a
. Similarmente,
é o conjunto de todos os
com
em
.
Passo 3
Agora, a interseção
é o conjunto de elementos que estão tanto em
quanto em
. Ou seja, são os pontos
em
que são imagem de algum elemento de
e também de algum elemento de
.
Passo 4
Por outro lado,
é o conjunto dos elementos que estão simultaneamente em
e em
. A imagem dessa interseção,
, é o conjunto de todos os
onde
está em
e em
.
Passo 5
Queremos saber se todo elemento que está em
também está em
. Para isso, vamos pensar em um exemplo concreto. Suponha que
,
, e a função
mapeia tanto
quanto
para
.
Passo 6
Escolha
e
. Então,
e
. A interseção
.
Passo 7
Agora, vamos ver
. Como
e
não têm elementos em comum,
. Assim,
.
Passo 8
Observamos que
não está dentro de
, ou seja,
.
Resposta
A afirmação
é falsa.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral. se uma condição inicial for dada, encontre também a solução particular correspondente e represente-a graficamente ou esboce-a. (mostre os detalhes do seu trabalho.)
Seja
um conjunto. Prove que
Dê uma descrição explícita da função
que é dada por essa fórmula lógica.
Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.