Seja uma função e sejam . Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções e conjuntos. A gente tem uma função e dois subconjuntos e de . A missão é descobrir se a interseção das imagens de e está sempre dentro da imagem da interseção de e , ou seja, se é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são imagem de um conjunto e a interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de um conjunto pela função . A imagem de por , escrita , é o conjunto de todos os pontos onde pertence a . Similarmente, é o conjunto de todos os com em .

Passo 3

Agora, a interseção é o conjunto de elementos que estão tanto em quanto em . Ou seja, são os pontos em que são imagem de algum elemento de e também de algum elemento de .

Passo 4

Por outro lado, é o conjunto dos elementos que estão simultaneamente em e em . A imagem dessa interseção, , é o conjunto de todos os onde está em e em .

Passo 5

Queremos saber se todo elemento que está em também está em . Para isso, vamos pensar em um exemplo concreto. Suponha que , , e a função mapeia tanto quanto para .

Passo 6

Escolha e . Então, e . A interseção .

Passo 7

Agora, vamos ver . Como e não têm elementos em comum, . Assim, .

Passo 8

Observamos que não está dentro de , ou seja, .

Resposta

A afirmação é falsa.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral. se uma condição inicial for dada, encontre também a solução particular correspondente e represente-a graficamente ou esboce-a. (mostre os detalhes do seu trabalho.)
Seja um conjunto. Prove que
Dê uma descrição explícita da função que é dada por essa fórmula lógica.
Seja uma função e sejam . Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa: .
Seja uma função e sejam . Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa: .