Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre funções e conjuntos. A gente tem uma função
e dois subconjuntos
e
de
. A pergunta é para descobrir se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos lembrar como funcionam as imagens de conjuntos através de uma função e as propriedades das uniões de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a gente pega todos os elementos que estão em
ou em
(ou em ambos) e aplica a função
nesses elementos. O resultado é um conjunto de imagens desses elementos em
.
Agora,
significa que a gente aplica a função
primeiro em todos os elementos de
e depois em todos os elementos de
, e depois junta essas imagens.
Passo 3
A gente precisa verificar se todo elemento que está em
também está em
. Vamos pegar um elemento qualquer
que pertence a
. Isso significa que existe algum
em
tal que
.
Como
está em
, ele está ou em
ou em
. Se
está em
, então
está em
. Se
está em
, então
está em
. Portanto,
está em
.
Passo 4
Como mostramos que todo elemento de
está também em
, isso significa que
é uma verdade geral para qualquer função
e quaisquer subconjuntos
e
de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.