Seja f: X -> Y uma função e sejam U, V ⊆ X. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa: f(U ∪ V) ⊆ f(U) ∪ f(V).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre funções e conjuntos. A gente tem uma função e dois subconjuntos e de . A pergunta é para descobrir se a afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos lembrar como funcionam as imagens de conjuntos através de uma função e as propriedades das uniões de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a gente pega todos os elementos que estão em ou em (ou em ambos) e aplica a função nesses elementos. O resultado é um conjunto de imagens desses elementos em .
Agora, significa que a gente aplica a função primeiro em todos os elementos de e depois em todos os elementos de , e depois junta essas imagens.

Passo 3

A gente precisa verificar se todo elemento que está em também está em . Vamos pegar um elemento qualquer que pertence a . Isso significa que existe algum em tal que .
Como está em , ele está ou em ou em . Se está em , então está em . Se está em , então está em . Portanto, está em .

Passo 4

Como mostramos que todo elemento de está também em , isso significa que é uma verdade geral para qualquer função e quaisquer subconjuntos e de .

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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