Encontre a solução geral, conhecendo a particular. O particular pode ser encontrado escolhendo uma função exponencial ou um polinômio

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observamos que os coeficientes das derivadas não são constantes, então não é uma equação de coeficientes constantes. Vamos procurar soluções do tipo exponencial, ou seja, assume-se que a solução seja da forma:
Onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, derivamos em relação a :
Substituímos , e na equação original:

Passo 4

Podemos fatorar da equação:
Como nunca é zero, temos que:

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos expandir a equação:
Agrupando os termos por ordem de :

Passo 6

Igualando os coeficientes a zero:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Termo independente:
Aqui percebemos que chegamos a uma contradição ( ), o que significa que nossa suposição de que a solução seja da forma não funciona para essa equação.

Passo 7

Vamos tentar uma solução polinomial. Assumimos que a solução particular é um polinômio da forma:
Para simplificar, vamos supor que seja um polinômio de segunda ordem:

Passo 8

Derivamos :
Substituímos , e na equação original:

Passo 9

Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 10

Igualando os coeficientes a zero:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Termo independente:
Como , nossa solução particular fica:

Passo 11

Para encontrar a solução geral da equação homogênea, precisamos de duas soluções lineares independentes. Já temos uma solução particular . Agora, precisamos encontrar outra solução que seja independente de .
Uma maneira de fazer isso é assumir que a segunda solução seja da forma , onde é uma função a ser determinada. Isso nos leva ao método de redução de ordem.

Passo 12

Aplicando o método de redução de ordem, substituímos na equação original e resolvemos para . Sem entrar em detalhes complexos, após os cálculos, encontramos que a segunda solução é .

Passo 13

Agora, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções encontradas:
Onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes quaisquer.

Exercícios relacionados

Resolva pelo método de variação de constantes
c) .
Resolva as seguintes equações nao homogenias
e) .
Resolva as seguintes equações nao homogenias
f)
Verifique se as funções são linearmente dependentes?
a)