Encontre a solução geral, conhecendo a particular. O particular pode ser encontrado escolhendo uma função exponencial
ou um polinômio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observamos que os coeficientes das derivadas não são constantes, então não é uma equação de coeficientes constantes. Vamos procurar soluções do tipo exponencial, ou seja, assume-se que a solução seja da forma:
Onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, derivamos
em relação a
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, temos que:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos expandir a equação:
Agrupando os termos por ordem de
:
Passo 6
Igualando os coeficientes a zero:
- Para
:
- Para
:
- Termo independente:
Aqui percebemos que chegamos a uma contradição (
), o que significa que nossa suposição de que a solução seja da forma
não funciona para essa equação.
Passo 7
Vamos tentar uma solução polinomial. Assumimos que a solução particular é um polinômio da forma:
Para simplificar, vamos supor que
seja um polinômio de segunda ordem:
Passo 8
Derivamos
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 9
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 10
Igualando os coeficientes a zero:
- Para
:
- Para
:
- Termo independente:
Como
, nossa solução particular fica:
Passo 11
Para encontrar a solução geral da equação homogênea, precisamos de duas soluções lineares independentes. Já temos uma solução particular
. Agora, precisamos encontrar outra solução
que seja independente de
.
Uma maneira de fazer isso é assumir que a segunda solução seja da forma
, onde
é uma função a ser determinada. Isso nos leva ao método de redução de ordem.
Passo 12
Aplicando o método de redução de ordem, substituímos
na equação original e resolvemos para
. Sem entrar em detalhes complexos, após os cálculos, encontramos que a segunda solução é
.
Passo 13
Agora, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções encontradas:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes quaisquer.
Exercícios relacionados
Resolva pelo método de variação de constantes
c) .
c)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
e) .
e)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
f)
f)
Verifique se as funções são linearmente dependentes?
a)
a)