Resolva as seguintes equações nao homogenias
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, a gente monta a equação característica:
Resolvendo para
, temos:
Então, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea
. Observando o lado direito, vemos que é da forma
. Normalmente, para termos como esse, a gente tenta uma solução do tipo:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Mas, pera aí! Como
já aparece na solução geral homogênea
, a gente precisa multiplicar nossa tentativa de
por
para não duplicar soluções. Então, ajustamos para:
Passo 5
Vamos agora calcular as derivadas de
:
Primeira derivada (
):
Segunda derivada (
):
Passo 6
Substituindo
e suas derivadas na equação original
, e igualando os coeficientes, conseguimos um sistema de equações para
e
. Resolvendo esse sistema, encontramos:
Passo 7
Agora, juntamos a solução homogênea
com a solução particular
para obter a solução geral da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Encontre a solução geral, conhecendo a particular. O particular pode ser encontrado escolhendo uma função exponencial
ou um polinômio
Resolva pelo método de variação de constantes
c) .
c)
Verifique se as funções são linearmente dependentes?
a)
a)
Resolva pelo método de variação de constantes
b) .
b)