Resolva as seguintes equações nao homogenias
f) y'' - 9y = e^(3x) cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, a gente monta a equação característica:
Resolvendo para r, temos:
Então, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea . Observando o lado direito, vemos que é da forma . Normalmente, para termos como esse, a gente tenta uma solução do tipo:
onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Mas, pera aí! Como já aparece na solução geral homogênea , a gente precisa multiplicar nossa tentativa de por x para não duplicar soluções. Então, ajustamos para:

Passo 5

Vamos agora calcular as derivadas de :
Primeira derivada ( ):
Segunda derivada ( ):

Passo 6

Substituindo e suas derivadas na equação original , e igualando os coeficientes, conseguimos um sistema de equações para A e B. Resolvendo esse sistema, encontramos:

Passo 7

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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