Verifique se as funções são linearmente dependentes?
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se as funções , e são linearmente dependentes. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com dependência linear de funções. Vamos precisar entender como testar se essas funções se relacionam de maneira que uma delas possa ser escrita como combinação linear das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa funções serem linearmente dependentes. Três funções são linearmente dependentes se existir uma combinação não trivial (ou seja, com coeficientes que não são todos zero) dessas funções que resulte na função zero. Matematicamente, isso significa encontrar constantes não todas zero tais que:
Passo 3
Para facilitar, vamos representar cada função pelos seus coeficientes em relação à base :
(como não há termo constante, consideramos 0)
Passo 4
Agora, vamos montar uma matriz com esses coeficientes:
A ideia é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, as funções são linearmente dependentes.
Passo 5
Vamos calcular o determinante:
Simplificando:
Resposta
Como o determinante é zero, as funções , e são linearmente dependentes.