Resolva as seguintes equações nao homogenias
e) .

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem:
Vamos resolver essa equação encontrando a solução geral, que consiste na solução da equação homogênea associada e em uma solução particular da não homogênea.
Conteúdo Necessário: Para resolver essa equação, vamos precisar utilizar:
  • Equações diferenciais lineares de segunda ordem.
  • Método dos coeficientes a determinar (método de particularização).
  • Resolução de equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Primeiro, consideramos o termo . Como já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular diferente.
Assumimos uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Essa equação não pode ser satisfeita para todos os valores de , indicando que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular.

Passo 5

Como não funcionou, tentamos multiplicar por novamente. Assim, assumimos:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular para o termo é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo .
Assumimos uma solução da forma:
onde e são constantes a serem determinadas.
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: .
  • Substituindo na segunda equação:
Portanto, a solução particular para o termo é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares encontradas:
Substituindo as soluções:
Podemos agrupar os termos semelhantes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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