Resolva as seguintes equações nao homogenias
e)
.
e)
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem:
Vamos resolver essa equação encontrando a solução geral, que consiste na solução da equação homogênea associada e em uma solução particular da não homogênea.
Conteúdo Necessário: Para resolver essa equação, vamos precisar utilizar:
- Equações diferenciais lineares de segunda ordem.
- Método dos coeficientes a determinar (método de particularização).
- Resolução de equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Primeiro, consideramos o termo
. Como
já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular diferente.
Assumimos uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa equação não pode ser satisfeita para todos os valores de
, indicando que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular.
Passo 5
Como
não funcionou, tentamos multiplicar por
novamente. Assim, assumimos:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular para o termo
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo
.
Assumimos uma solução da forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
. - Substituindo na segunda equação:
Portanto, a solução particular para o termo
é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares encontradas:
Substituindo as soluções:
Podemos agrupar os termos semelhantes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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c)
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