Resolva pelo método de variação de constantes
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação de constantes. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução complementar (da equação homogênea) e da solução particular (devido ao termo não homogêneo).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução complementar da equação homogênea é dada por:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular usando o método de variação de constantes. A ideia é assumir que as constantes e não são constantes, mas funções de :
Derivando :
Mas para simplificar, usamos a condição:
Isso simplifica a derivada de primeira ordem e facilita os cálculos.

Passo 5

Substituindo e suas derivadas na equação original, e aplicando a condição acima, chegamos a:
Simplificando, obtemos:
Juntando com a condição anterior:
Parece que houve um erro na simplificação. Vamos refazer de forma correta.

Passo 6

Peço desculpas pelo erro anterior. Vamos ajustar as equações corretamente.
Após substituir e suas derivadas na equação original e aplicar a condição , obtemos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda para eliminar :
Simplificando:
Isso ainda é complexo, então vamos resolver de outra forma.

Passo 7

Vamos usar o método de variação de parâmetros de forma mais direta. A solução complementar é:
Para encontrar , usamos:
Onde:
  • é o Wronskiano dado por
Calculando o Wronskiano:

Passo 8

Agora, substituindo no :
Simplificando as frações:
Isso simplifica para:

Passo 9

Vamos resolver as integrais:
Primeira integral:
Segunda integral:
Usando substituição , , então:

Passo 10

Substituindo as integrais em :
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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e) .
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d)
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f)