Resolva pelo método de variação de constantes
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação de constantes. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução complementar (da equação homogênea) e da solução particular (devido ao termo não homogêneo).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução complementar
da equação homogênea é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular
usando o método de variação de constantes. A ideia é assumir que as constantes
e
não são constantes, mas funções de
:
Derivando
:
Mas para simplificar, usamos a condição:
Isso simplifica a derivada de primeira ordem e facilita os cálculos.
Passo 5
Substituindo
e suas derivadas na equação original, e aplicando a condição acima, chegamos a:
Simplificando, obtemos:
Juntando com a condição anterior:
Parece que houve um erro na simplificação. Vamos refazer de forma correta.
Passo 6
Peço desculpas pelo erro anterior. Vamos ajustar as equações corretamente.
Após substituir
e suas derivadas na equação original e aplicar a condição
, obtemos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda para eliminar
:
Simplificando:
Isso ainda é complexo, então vamos resolver de outra forma.
Passo 7
Vamos usar o método de variação de parâmetros de forma mais direta. A solução complementar é:
Para encontrar
, usamos:
Onde:
-
-
-
é o Wronskiano dado por
Calculando o Wronskiano:
Passo 8
Agora, substituindo no
:
Simplificando as frações:
Isso simplifica para:
Passo 9
Vamos resolver as integrais:
Primeira integral:
Segunda integral:
Usando substituição
,
, então:
Passo 10
Substituindo as integrais em
:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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e) .
e)
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d)
d)
Encontre a solução geral, conhecendo a particular. O particular pode ser encontrado escolhendo uma função exponencial
ou um polinômio
Resolva as seguintes equações nao homogenias
f)
f)