Encontre a solução geral, conhecendo a particular. O particular pode ser encontrado escolhendo uma função exponencial ou um polinômio

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, sabendo que já conhecemos uma solução particular. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e o método de redução de ordem.

Passo 2

Vamos começar encontrando uma solução particular da equação. O exercício sugere que podemos escolher uma função exponencial da forma ou um polinômio. Vamos tentar com a função exponencial primeiro.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, precisamos encontrar a derivada primeira e segunda:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 5

Como nunca é zero, podemos igualar o coeficiente a zero:
Agrupando os termos:

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero:
Resolvendo a segunda equação:
Verificando na primeira equação:
Portanto, é uma solução válida.

Passo 7

Então, uma solução particular é:

Passo 8

Agora, para encontrar a solução geral da equação diferencial, usamos a solução particular e aplicamos o método de redução de ordem. A solução geral será uma combinação linear da solução particular e de uma segunda solução independente.
A solução geral é dada por:
onde e são constantes arbitrárias, e é a segunda solução independente.

Passo 9

No entanto, para esta equação específica, a solução geral pode ser expressa de forma mais simples devido à natureza da equação e da solução particular encontrada. A solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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