Encontre a solução geral, conhecendo a particular. O particular pode ser encontrado escolhendo uma função exponencial
ou um polinômio
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, sabendo que já conhecemos uma solução particular. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e o método de redução de ordem.
Passo 2
Vamos começar encontrando uma solução particular da equação. O exercício sugere que podemos escolher uma função exponencial da forma
ou um polinômio. Vamos tentar com a função exponencial primeiro.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial, precisamos encontrar a derivada primeira e segunda:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 5
Como
nunca é zero, podemos igualar o coeficiente a zero:
Agrupando os termos:
Passo 6
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais a zero:
Resolvendo a segunda equação:
Verificando na primeira equação:
Portanto,
é uma solução válida.
Passo 7
Então, uma solução particular é:
Passo 8
Agora, para encontrar a solução geral da equação diferencial, usamos a solução particular e aplicamos o método de redução de ordem. A solução geral será uma combinação linear da solução particular e de uma segunda solução independente.
A solução geral é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
é a segunda solução independente.
Passo 9
No entanto, para esta equação específica, a solução geral pode ser expressa de forma mais simples devido à natureza da equação e da solução particular encontrada. A solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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b)
b)
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a) .
a)
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em torno do eixo