Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
y^2 = x, x = 2y em torno do eixo y

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma certa região em torno do eixo y. As curvas que delimitam essa região são y^2 = x e . Aqui, vamos usar o cálculo de volume de sólidos de revolução, mais especificamente o método dos discos ou arruelas. Para isso, primeiro precisamos encontrar onde essas curvas se interceptam.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção entre as curvas y^2 = x e . Para isso, podemos substituir x na segunda equação pela primeira.
Sabemos que de y^2 = x, podemos escrever . Agora, substituindo na equação , ficamos com:
Reorganizando a equação, temos:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas soluções: y = 0 e y = 2. Agora, vamos encontrar as correspondentes de x substituindo y de volta y^2 = x:
  1. Para y = 0, teremos .
  2. Para y = 2, teremos .
Então, os pontos de interseção são (0,0) e (4,2).

Passo 3

Agora que conhecemos os pontos de interseção, podemos visualizar a região delimitada pelas curvas. Essa região é a área entre as curvas da linha reta e a parábola y^2 = x entre os pontos acima mencionados.
Para calcular o volume do sólido de revolução ao redor do eixo y, vamos usar o método dos anéis (ou arruelas). O volume V pode ser dado pela fórmula:
onde é a função de maior valor (neste caso, ) e é a função de menor valor ( ).
Os limites de integração vão de y = 0 a y = 2. Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral.
Primeiro, simplificamos a parte da integral:
Substituindo tudo na integral:
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos calcular para y = 2:
Agora, para fazer essa subtração, vamos achar um denominador comum, que é :
Agora subtraindo:
Então, substituindo de volta:

Resposta

Portanto, o volume do sólido obtido pela rotação da região é:

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