Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
em torno do eixo
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma certa região em torno do eixo
. As curvas que delimitam essa região são
e
. Aqui, vamos usar o cálculo de volume de sólidos de revolução, mais especificamente o método dos discos ou arruelas. Para isso, primeiro precisamos encontrar onde essas curvas se interceptam.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, podemos substituir
na segunda equação pela primeira.
Sabemos que de
, podemos escrever
. Agora, substituindo na equação
, ficamos com:
Reorganizando a equação, temos:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas soluções:
e
. Agora, vamos encontrar as correspondentes de
substituindo
de volta
:
- Para
, teremos . - Para
, teremos .
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que conhecemos os pontos de interseção, podemos visualizar a região delimitada pelas curvas. Essa região é a área entre as curvas da linha reta
e a parábola
entre os pontos acima mencionados.
Para calcular o volume do sólido de revolução ao redor do eixo
, vamos usar o método dos anéis (ou arruelas). O volume
pode ser dado pela fórmula:
onde
é a função de maior valor (neste caso,
) e
é a função de menor valor (
).
Os limites de integração vão de
a
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral.
Primeiro, simplificamos a parte da integral:
Substituindo tudo na integral:
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos calcular para
:
Agora, para fazer essa subtração, vamos achar um denominador comum, que é
:
Agora subtraindo:
Então, substituindo de volta:
Resposta
Portanto, o volume do sólido obtido pela rotação da região é:
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a) .
a)
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ou um polinômio
Qual a representação do número, em base decimal, 2024.0625 quando escrito em base binária e octal?
No contexto dos sistemas digitais, os microcomputadores e notebooks atuais suportam as representações numéricas baseadas nos sistemas binários e hexadecimal. Nesse sentido, o número decimal 2023 possui nos sistemas binário e hexadecimal, respectivamente, as seguintes representações:
a) 11111100111 e
b) 10111100111 e 7D3
c) 11111000111 e
d) 10111100111 e 3E7
e) 10111100101 e 4D2
a) 11111100111 e
b) 10111100111 e 7D3
c) 11111000111 e
d) 10111100111 e 3E7
e) 10111100101 e 4D2