Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
em torno do eixo

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma certa região em torno do eixo . As curvas que delimitam essa região são e . Aqui, vamos usar o cálculo de volume de sólidos de revolução, mais especificamente o método dos discos ou arruelas. Para isso, primeiro precisamos encontrar onde essas curvas se interceptam.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, podemos substituir na segunda equação pela primeira.
Sabemos que de , podemos escrever . Agora, substituindo na equação , ficamos com:
Reorganizando a equação, temos:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas soluções: e . Agora, vamos encontrar as correspondentes de substituindo de volta :
  1. Para , teremos .
  2. Para , teremos .
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que conhecemos os pontos de interseção, podemos visualizar a região delimitada pelas curvas. Essa região é a área entre as curvas da linha reta e a parábola entre os pontos acima mencionados.
Para calcular o volume do sólido de revolução ao redor do eixo , vamos usar o método dos anéis (ou arruelas). O volume pode ser dado pela fórmula:
onde é a função de maior valor (neste caso, ) e é a função de menor valor ( ).
Os limites de integração vão de a . Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral.
Primeiro, simplificamos a parte da integral:
Substituindo tudo na integral:
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos calcular para :
Agora, para fazer essa subtração, vamos achar um denominador comum, que é :
Agora subtraindo:
Então, substituindo de volta:

Resposta

Portanto, o volume do sólido obtido pela rotação da região é:

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c) 11111000111 e
d) 10111100111 e 3E7
e) 10111100101 e 4D2