Resolver um sistema de equações diferenciais
b)
b)
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos resolver um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem. As equações são:
Para resolver esse sistema, vamos precisar entender como lidar com sistemas de equações diferenciais lineares e como encontrar soluções utilizando valores próprios (autovalores).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de uma forma mais fácil de trabalhar. Vamos isolar as derivadas:
Agora, colocamos esse sistema na forma matricial:
[
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para resolver o sistema, precisamos encontrar os valores próprios da matriz
. Os valores próprios nos ajudam a determinar o comportamento das soluções do sistema.
Calculamos os valores próprios resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os valores próprios. Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos um valor próprio duplo:
.
Passo 4
Com o valor próprio
, vamos encontrar o vetor próprio correspondente. Usamos a equação:
Substituindo
na matriz:
[
= 0
]
Isso resulta nas seguintes equações:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos resolver:
Podemos escolher
, então
. Portanto, o vetor próprio é:
Resposta
A solução geral do sistema é dada por:
Onde
é uma constante que pode ser determinada com condições iniciais específicas.
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Resolva as seguintes equações nao homogenias
Resolver um sistema de equações diferenciais
d)
d)
Encontre a solução geral, conhecendo a particular. O particular pode ser encontrado escolhendo uma função exponencial
ou um polinômio
Resolva pelo método de variação de constantes
a) .
a)