Resolver um sistema de equações diferenciais
b)

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos resolver um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem. As equações são:
Para resolver esse sistema, vamos precisar entender como lidar com sistemas de equações diferenciais lineares e como encontrar soluções utilizando valores próprios (autovalores).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de uma forma mais fácil de trabalhar. Vamos isolar as derivadas:
Agora, colocamos esse sistema na forma matricial:

[



]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os valores próprios da matriz . Os valores próprios nos ajudam a determinar o comportamento das soluções do sistema.
Calculamos os valores próprios resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os valores próprios. Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos um valor próprio duplo: .

Passo 4

Com o valor próprio , vamos encontrar o vetor próprio correspondente. Usamos a equação:
Substituindo na matriz:

[



= 0
]
Isso resulta nas seguintes equações:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos resolver:
Podemos escolher , então . Portanto, o vetor próprio é:

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
Onde é uma constante que pode ser determinada com condições iniciais específicas.

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Resolva as seguintes equações nao homogenias
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d)
Encontre a solução geral, conhecendo a particular. O particular pode ser encontrado escolhendo uma função exponencial ou um polinômio
Resolva pelo método de variação de constantes
a) .