Resolva pelo método de variação de constantes
a) y'' - 2y' + y = e^x / x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares, especificamente o método de variação de constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos uma raiz dupla:

Passo 3

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) usando o método de variação de constantes. Assumimos que as constantes e agora são funções de :
Derivando e substituindo na equação original, estabelecemos um sistema de equações para e . Após alguns cálculos, chegamos às integrais:
ã
Percebemos aqui que a integral de não pode ser expressa em termos de funções elementares. Portanto, a solução particular será expressa em termos de integrais conhecidas como a função Ei (Função Integral Exponencial).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias e a integral é conhecida como a função integral exponencial, denotada por Ei(x).

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