Resolva pelo método de variação de constantes
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares, especificamente o método de variação de constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos uma raiz dupla:
Passo 3
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) usando o método de variação de constantes. Assumimos que as constantes
e
agora são funções de
:
Derivando
e substituindo na equação original, estabelecemos um sistema de equações para
e
. Após alguns cálculos, chegamos às integrais:
Percebemos aqui que a integral de
não pode ser expressa em termos de funções elementares. Portanto, a solução particular será expressa em termos de integrais conhecidas como a função Ei (Função Integral Exponencial).
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias e a integral
é conhecida como a função integral exponencial, denotada por Ei(x).