Resolva as seguintes equações nao homogenias
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem que é
com as condições iniciais
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, precisamos achar a solução geral da equação e depois ajustar as constantes usando as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação:
Como
, ficamos com a equação característica:
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 4
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
,
e
.
Primeiro,
:
Passo 5
Em seguida, calculamos a primeira derivada da solução:
Aplicando
:
Passo 6
Agora, a segunda derivada:
Aplicando
:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (2):
Da equação (3):
Somando as duas:
Substituindo
na equação (3):
Agora, usando
e
na equação (1):
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolver um sistema de equações diferenciais
d)
d)
Resolver um sistema de equações diferenciais
Resolver um sistema de equações diferenciais
b)
b)
Encontre a solução geral, conhecendo a particular. O particular pode ser encontrado escolhendo uma função exponencial
ou um polinômio