Resolva as seguintes equações nao homogenias

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem que é com as condições iniciais , e . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, precisamos achar a solução geral da equação e depois ajustar as constantes usando as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação:
Como , ficamos com a equação característica:

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 4

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes , e .
Primeiro, :

Passo 5

Em seguida, calculamos a primeira derivada da solução:
Aplicando :

Passo 6

Agora, a segunda derivada:
Aplicando :

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (2):
Da equação (3):
Somando as duas:
Substituindo na equação (3):
Agora, usando e na equação (1):

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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