Resolver o PVI y'' + y' = 2 + x^2, y(0) = 1, y'(0) = 2. [Resp: y = c1 + c2 * e^(-x) + 4 * x - x^2 1/3 x^3, com c1 = -1, c2 = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O que isso significa? Basicamente, temos uma equação que envolve a função desconhecida e suas derivadas, e queremos encontrar que satisfaça a equação e as condições dadas. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada ( ) mais uma solução particular da equação completa.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
O lado direito é um polinômio de grau 2, então vamos supor uma solução particular da forma:
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo , e na equação original:
Organizando os termos por potências de :
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo essas equações:
Portanto, a solução particular é:
Como o lado direito não depende de (termo constante), podemos assumir para simplificar.

Passo 5

Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
Substituindo :
Substituindo na primeira condição:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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