Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O que isso significa? Basicamente, temos uma equação que envolve a função desconhecida e suas derivadas, e queremos encontrar que satisfaça a equação e as condições dadas. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada () mais uma solução particular da equação completa.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
O lado direito é um polinômio de grau 2, então vamos supor uma solução particular da forma:
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo , e na equação original:
Organizando os termos por potências de :
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo essas equações:
Portanto, a solução particular é:
Como o lado direito não depende de (termo constante), podemos assumir para simplificar.
Passo 5
Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada da solução geral: