Encontre a solução geral da E.D.O. y'' + y = e^x * (x^2 + cos x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para baseada no lado direito da equação.

Passo 4

Observando o lado direito , notamos que ele é composto por duas partes: um polinômio multiplicado por e uma função trigonométrica multiplicada por . Assim, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
(Nota: Para simplificar, usualmente organizamos e combinamos termos semelhantes, mas aqui estamos focando na metodologia.)

Passo 6

Substituímos e suas derivadas na equação original e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de e .
Após realizar os cálculos (que envolvem bastante álgebra), encontramos os valores das constantes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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