Encontre a solução geral da E.D.O.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para
baseada no lado direito da equação.
Passo 4
Observando o lado direito
, notamos que ele é composto por duas partes: um polinômio multiplicado por
e uma função trigonométrica multiplicada por
. Assim, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
(Nota: Para simplificar, usualmente organizamos e combinamos termos semelhantes, mas aqui estamos focando na metodologia.)
Passo 6
Substituímos
e suas derivadas na equação original
e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de
e
.
Após realizar os cálculos (que envolvem bastante álgebra), encontramos os valores das constantes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.