Resolva o PVI
Passo 1
Aqui, a gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação é
, e as condições iniciais são
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma de uma exponencial, ou seja,
. Derivando, obtemos
e
. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
:
Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Observando o lado direito, temos uma função do tipo
, que sugere que a solução particular pode ser da forma
, onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Então:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes das funções seno e cosseno:
Para
:
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Para
:
Simplificando:
Então:
Ou:
Passo 10
Agora, derivamos
para aplicar a segunda condição:
Simplificando:
Para
:
Então:
Passo 11
Substituindo
na equação
:
Resposta
A solução do PVI é:
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