Resolva o PVI y'' - y' = e^t * cos(t), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Aqui, a gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação é , e as condições iniciais são e . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma de uma exponencial, ou seja, . Derivando, obtemos e . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por :
Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Observando o lado direito, temos uma função do tipo , que sugere que a solução particular pode ser da forma , onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Então:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes das funções seno e cosseno:
Para :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 7

Portanto, a solução particular é:

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Para :
Simplificando:
Então:
Ou:

Passo 10

Agora, derivamos para aplicar a segunda condição:
Simplificando:
Para :
Então:

Passo 11

Substituindo na equação :

Resposta

A solução do PVI é:

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