Aqui, a gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação é , e as condições iniciais são e . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma de uma exponencial, ou seja, . Derivando, obtemos e . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por :
Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () para a equação completa . Observando o lado direito, temos uma função do tipo , que sugere que a solução particular pode ser da forma , onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Então:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes das funções seno e cosseno:
Para :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .